19-4 等温可逆圧縮

解答

可逆過程では P外 = P となるので、
w = −P外 dV 式の P外 に P = nRT/V を代入し、積分して得られる

 \displaystyle w = - nRT\ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)

式を使えばよい。有効数字は 3 桁 のようなので 1)1 mol, 300 K は 「1 mol, 300 K だとしたら～」という仮想的な値と考えられるので、有効数字の考えからは外す。  、定数 R は 1 桁増やして 4 桁分を使う。

V2/V1 の部分は、計算して V1 や V2 を求めてもよいが、 比だけがわかればよいので、PV一定の関係( P1V1 = P2V2 )から、(V2/V1 = P1/P2) となるので、これを代入して使おう。

 \displaystyle w = - nRT\ln\left(\frac{P_1}{P_2}\right)\\ \\ = - \rm(1~mol)(8.314~J~K^{-1}~mol^{-1})(300~K)\ln\frac{(1.00~bar)}{(5.00~bar)}\\ \\ = - (2494~J)(-1.609) = 4014~J = 4.01~kJ

計算中は有効数字 4 桁で計算し、最後に 3 桁にする。
対数部分は単位が約分により消え、「無次元」(ただの数値)となっていることに注意。
圧縮なので、w の符号はプラス。(系が周囲から仕事をしてもらっている)

脚注

↑1 1 mol, 300 K は 「1 mol, 300 K だとしたら～」という仮想的な値と考えられるので、有効数字の考えからは外す。
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