2-5 振動数が同じ三角関数の和

解答

三角法の公式より(2)式は次のように変形できる。

   \displaystyle A\sin(\omega t + \phi) = A(\sin\omega t \cos\phi + \cos\omega t \sin\phi)\\  \\  = A \sin\phi \cos \omega t + A\cos\phi \sin \omega t

ここで 座標(c2, c1) の点を考え、原点となす角を \phi, 原点からの距離を A とする。

c1 は A \sin \phi、 c2 は A \cos \phi となるので、 A\sin(\omega t + \phi) は (1)式、 c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t と等価であることがわかる。

A は 原点から (c2, c1) までの距離なので

  \displaystyle A = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}\\  \\  \phi = \tan^{-1}\left(\frac{c_1}{c_2}\right)

(3) 式も同様の手法で (1) 式と等価であることを示すことができる。

   \displaystyle B\cos(\omega t + \psi) = B(\cos\omega t \cos\psi - \sin\omega t \sin\psi)\\  \\  = B \cos\psi \cos \omega t -B \sin\psi \sin \omega t

よって

  c_1 = B \cos\psi\\  \\  c_2 = -B \sin\psi

座標(c1, −c2) の点を考えれば

  \displaystyle B = \sqrt{c_1^2 + c_2^2}\\  \\  \psi = \tan^{-1}\left(-\frac{c_2}{c_1}\right)

以上のように(1)~(3)式は等価であり、(2)または(3)式の t の係数から、いずれも振動数 ω/2π で振動する単振動であることがわかる。

(2)式をみると、どのような関数であるかがわかりやすい。
(1)式と(2)式は等価であり、

 \displaystyle x(t) = c_1 \cos \omega t + c_2 \sin \omega t = A \sin(\omega t + \phi)

振幅A (= \sqrt{c_1^2 + c_2^2})で、角度 \phi (= \tan^{-1}\left(\frac{c_1}{c_2}\right))からスタートする (\phi は位相項と呼ばれる)、振動数 ω/2π の単振動を表している。

単振動 (振幅 A, ω = 1, ϕ = π/4)

 

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