2-4 弦の振動の微分方程式

線形微分方程式なので、x(t) = e^{\alpha t}とおいて微分方程式に代入すると

\alpha^2 e^{\alpha t} + \omega^2 e^{\alpha t} = 0\\\\(\alpha^2+\omega^2)e^{\alpha t} = 0
\alpha = \pm i \omegaより、x(t) = e^{i \omega t}, e^{-i \omega t}が解。一般解は

x(t) = c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{-i \omega t} ... (1)

x(t) を実数にするために c2 = c1* として複素数を代入すると、(1)式は次の(2)式に変換できる

x(t) = c_3 \cos{\omega t} + c_4 \sin{\omega t} ... (2)

c3c4は複素数ではなく実数。

あとは 境界条件から c3c4 を決めればよい。

t = 0 での微分を求めると

\displaystyle \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t}({\rm at}~t=0) = c_4 \omega

従って

\displaystyle c_4 = \frac{v_0}{\omega}

(a) では、 x(0) = 0 なので

\displaystyle x(t) = c_3 \cos{\omega t} + \frac{v_0}{\omega} \sin{\omega t} 

t = 0 を代入すると、 c3 = 0 が得られる。

\displaystyle x(t) = \frac{v_0}{\omega} \sin{\omega t} 

(b) では、 x(0) = A なので、同様にして c3 = A が得られる。

\displaystyle x(t) = A \cos{\omega t} + \frac{v_0}{\omega} \sin{\omega t} 

どちらも角振動数 ω の単振動で、(a)は振幅v0/ω、(b)は振幅が {A2 + (v0/ω)2}1/2、(b)の方は位相がずれて t =0 の時の変位が A となっている。

ω= 2π, v0 = 10, A = 1 として描いた x(t)。青が(a), 赤が(b)。

(1)式から(2)式への変換

(1)式から(2)式への変換は、「x(t)が実数であるとすると」と言っていきなり(2)式にしてしまってよいですが、一応きちんと示しておきましょう。

x(t) = c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{-i \omega t} ... (1)
x(t) = c_3 \cos{\omega t} + c_4 \sin{\omega t} ... (2)

(1)式において、

 c_1 = a + bi\\ \\ c_2 = a - bi

とおき(a, b は実数)、オイラーの式を使って展開すると

x(t) = c_1 e^{i \omega t} + c_2 e^{-i \omega t}\\ \\ = (a+bi)(\cos \omega t + i \sin \omega t)+(a-bi)(\cos \omega t - i \sin \omega t)\\ \\ = (a \cos \omega t + ai \sin \omega t + bi \cos \omega t - b \sin \omega t)\\ + (a \cos \omega t - ai \sin \omega t - bi \cos \omega t - b \sin \omega t)\\ \\ = 2a \cos \omega t - 2b \sin \omega t 

のように、虚数項が消えて、実数になることがわかる。

最後の式で 2a = c3, −2b = c4 とすると (2) 式が得られる。