線形微分方程式なので、とおいて微分方程式に代入すると
より、が解。一般解は... (1)
x(t) を実数にするために c2 = c1* として複素数を代入すると、(1)式は次の(2)式に変換できる。
... (2)
c3 と c4は複素数ではなく実数。
あとは 境界条件から c3 と c4 を決めればよい。
t = 0 での微分を求めると
従って
(a) では、 x(0) = 0 なので
に t = 0 を代入すると、 c3 = 0 が得られる。
(b) では、 x(0) = A なので、同様にして c3 = A が得られる。
どちらも角振動数 ω の単振動で、(a)は振幅が v0/ω、(b)は振幅が {A2 + (v0/ω)2}1/2、(b)の方は位相がずれて t =0 の時の変位が A となっている。
(1)式から(2)式への変換
(1)式から(2)式への変換は、「x(t)が実数であるとすると」と言っていきなり(2)式にしてしまってよいですが、一応きちんと示しておきましょう。
... (1)
... (2)
(1)式において、
とおき(a, b は実数)、オイラーの式を使って展開すると
のように、虚数項が消えて、実数になることがわかる。
最後の式で 2a = c3, −2b = c4 とすると (2) 式が得られる。