3-3 固有関数と固有値

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解答

(a)

\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}x} \cos \omega x = -\omega \sin \omega x \\ 
\displaystyle \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2} \cos \omega x = -\omega^2 \cos \omega x \\

より、\hat{A} f(x) = a \cdot f(x) となっているので

関数 \displaystyle \cos \omega x は 演算子 \displaystyle \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2} の固有関数

固有値は -\omega^2

(b)

\displaystyle \frac{{\rm d}}{{\rm d}t} {\rm e}^{i \omega t} = i \omega {\rm e}^{i \omega t}
f(x)は\hat{A}の固有関数

固有値はi \omega

(c)

\displaystyle \hat{A} \cdot f(x) = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2}{\rm e}^{\alpha x} + 2 \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}{\rm e}^{\alpha x} + 3 {\rm e}^{\alpha x} \\\\ = \alpha^2 {\rm e}^{\alpha x}+2\alpha {\rm e}^{\alpha x} + 3 {\rm e}^{\alpha x} \\\\ = (\alpha^2+2\alpha+3){\rm e}^{\alpha x}
f(x)は\hat{A}の固有関数

固有値は\alpha^2+2\alpha+3

演算子 \hat{A} が「和」になっている場合は、
単純に 「\hat{A} を  f(x)の左側からかける」のではないことに注意してください。

この問題の場合、

\displaystyle \hat{A} = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2} + 2 \frac{\rm d}{{\rm d}x} + 3

は、3つの演算子

\displaystyle \hat{A}_1 = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}x^2}\\\\ \hat{A}_2 =  2 \frac{{\rm d}}{{\rm d}x}\\\\ \hat{A}_3 = 3

をそれぞれ  f(x) に作用させ、その和をとる、
と考えると良いと思います。

最後の 演算子

\hat{A}_3 = 3

は、「3を足す」のではなく、「 f(x) に 3 をかける」演算子になってます。

(d)

\displaystyle \frac{\partial }{\partial y} x^2 {\rm e}^{6y} = 6 x^2 {\rm e}^{6y}
f(x)は\hat{A}の固有関数

固有値は 6

(6x2 ではないので注意)

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