5-30 座標系変換

問題 (1階微分の変換)

直交座標から平面極座標への変換を考えよう。
ここで

\displaystyle x = r \cos{\theta}\\ \\ y = r \sin{\theta}\\ \\ r = \sqrt{x^2+y^2}\\ \\ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\\ \\ … (1)

である。

直交座標から平面極座標への変換

f(r, θ) が極座標 r と θ で決められる場合、偏微分の連鎖規則によれば

 \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y = \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)_\theta \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_y + \left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_r \left(\frac{\partial \theta}{\partial x}\right)_y … (2)

および

 \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x = \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)_\theta \left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)_x + \left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_r \left(\frac{\partial \theta}{\partial y}\right)_x … (3)

となる。簡単のために、r を定数と仮定すると、r についての微分を含む項は無視できる。言い換えれば、円周上に運動が制限された粒子を考える。この系をリング上の粒子ということがある。式(1)~(3)を用いて、

 \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y = -\frac{\sin{\theta}}{r}\left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_r\\ \\ \\ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x = \frac{\cos{\theta}}{r}\left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_r\\ … (4)

であることを示せ。

(問題の続きは第3ページ)