5-30 座標系変換

解答 (あらまし)

正直なところ、座標変換はかなり面倒です。

3 次元空間での位置は 3 つのパラメータ で表すことができます。
従って、直交座標 (x, y, z) で表すこともできますし、極座標系 (r, θ, 𝜙) で表すこともできます。

直交座標系で表されていた波動関数 ψ(x, y, z) も、極座標系 ψ(r, θ, 𝜙) で表せます。
(水素原子等では、ポテンシャルが原子核からの距離 r で決まるので、ψ(r, θ, 𝜙) で表した方が簡単)

ここで、「やっかいな」問題があります。

直交座標系では、微分や積分は

\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \psi(x, y, z)\ {\rm d}x\,{\rm d}y\,{\rm d}z\\ \\ \\ \nabla^2 \psi(x, y, z) = \left( \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} \right) \psi(x, y, z)

とシンプルに行けるのですが、極座標系では

\displaystyle \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^\infty \psi(r, \theta, \phi)\ r^2 \sin{\theta}\ {\rm d}r\,{\rm d}\theta\,{\rm d}\phi\\ \\ \\ \nabla^2 \psi(r, \theta, \phi) = \left\{ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial}{\partial r} \right)  + \frac{1}{r^2 \sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2} \right\} \psi(r, \theta, \phi)

と、「マジか!?」といいたくなるようなややこしい形となります。

dθ とか \displaystyle \frac{\partial}{\partial \phi} の単純な積とか和にならず、その前に「係数」がつくのです。

ここでは、いくらか簡単な 2 次元の極座標系について、「係数」の算出方法を学びます。

解答 (1階微分の変換)

直交座標系の微分 \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right),\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) を 極座標系の微分 \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right),\left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) に変換するには、偏微分の連鎖規則

 \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y = \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)_\theta \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_y + \left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_r \left(\frac{\partial \theta}{\partial x}\right)_y … (2)

 \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x = \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)_\theta \left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)_x + \left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_r \left(\frac{\partial \theta}{\partial y}\right)_x … (3)

を使います。

(2) 式の方でいうと、\displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial r}\right),\left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right) がそのまま残り、\displaystyle \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right),\left(\frac{\partial \theta}{\partial x}\right) の部分が「係数」になります。

では、(2) 式の方の「係数」、\displaystyle \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right),\left(\frac{\partial \theta}{\partial x}\right) を求めていきます。

rx、あるいは θ と x の関係は (1)式

\displaystyle x = r \cos{\theta}\\ \\ y = r \sin{\theta}\\ \\ r = \sqrt{x^2+y^2}\\ \\ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)\\ \\ … (1)

に書かれているので、ここから r や θ を x で微分します。

\displaystyle  \left(\frac{\partial r}{\partial x}\right)_y =  \frac{\partial}{\partial x}(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2x(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{x}{(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}} \\ \\ \\ = \frac{x}{r} = \cos{\theta} …(5)

上式のように、x で微分した後(合成関数の微分を利用)、
(1) 式を利用して xyr と θ に置き換えます。

\displaystyle \left(\frac{\partial \theta}{\partial x}\right) の方は、\displaystyle u = \frac{y}{x} とおいた合成関数の微分で、

アークタンジェントの微分 \displaystyle \frac{\rm d}{{\rm d}u}(\tan^{-1}{u}) = \frac{1}{1+u^2}\displaystyle \frac{{\rm d}u}{{\rm d}x} = -\frac{y}{x^2}より

\displaystyle  \left(\frac{\partial \theta}{\partial x}\right)_y =  \frac{\partial}{\partial x}\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\left(-\frac{y}{x^2}\right) \\ \\ = -\frac{y}{x^2+y^2} = \frac{-r\sin\theta}{r^2} = - \frac{\sin\theta}{r} \\ … (6)

となります。

同様に、(3)式に含まれる \displaystyle \left(\frac{\partial r}{\partial y}\right),\left(\frac{\partial \theta}{\partial y}\right)

\displaystyle  \left(\frac{\partial r}{\partial y}\right)_x =  \frac{\partial}{\partial y}(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot 2y(x^2+y^2)^{-\frac{1}{2}} = \frac{y}{(x^2+y^2)^{\frac{1}{2}}} \\ \\ \\ = \frac{x}{r} = \sin{\theta} …(7)

\displaystyle  \left(\frac{\partial \theta}{\partial y}\right)_x =  \frac{\partial}{\partial y}\tan^{-1}\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1+\frac{y^2}{x^2}}\left(\frac{1}{x}\right) \\ \\ = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{r\cos\theta}{r^2} = \frac{\cos\theta}{r} \\ …(8)

となります。

r が一定の条件

ここで、r は一定値に固定されているので、(2)式, (3)式に含まれる \displaystyle\left(\frac{\partial f}{\partial r}\right)_\theta は省いてよいことになります。

よって (2), (3), (6), (8)式より、(4)式が導かれます。

 \displaystyle \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)_y = -\frac{\sin{\theta}}{r}\left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_r\\ \\ \\ \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)_x = \frac{\cos{\theta}}{r}\left(\frac{\partial f}{\partial \theta}\right)_r\\ … (4)