5-30 座標系変換(*) – ページ 6 – Shinshu Univ., Physical Chemistry Lab., Adsorption Group

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解答(シュレーディンガー方程式)

シュレーディンガー方程式は

$\hat{H}\psi = E\psi$ …(3.13)

と書かれる。ハミルトニアン $\hat{H}$ は

$\displaystyle \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V$ …(3.14′)

であるが、ラプラス演算子 $\nabla^2$ は座標系に合わせて選ぶ必要がある。2次元なので

$\displaystyle \nabla^2 = \left( \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_y + \left( \frac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_x$

だが、この問題のように r, θ で表される 2次元極座標を使い、かつ r が固定されている場合、

$\displaystyle \nabla^2 = \left( \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_y + \left( \frac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_x\\ \\ \\ = \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \right)_r$

となることを(11)式で示した。またポテンシャルエネルギー V は 0 なので、(11), (3.14′), (3.13)式を使うと、この系におけるシュレーディンガー方程式は

$\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\psi(\theta) = E \psi(\theta)\\ \\ \\ - \frac{\hbar^2}{2 I} \frac{\partial^2 \psi(\theta)}{\partial \theta^2} = E \psi(\theta)$

となる。

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