5-30 座標系変換

解答(シュレーディンガー方程式)

シュレーディンガー方程式は

\hat{H}\psi = E\psi …(3.13)

と書かれる。ハミルトニアン \hat{H}

\displaystyle \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V …(3.14′)

であるが、ラプラス演算子 \nabla^2 は座標系に合わせて選ぶ必要がある。2次元なので

\displaystyle \nabla^2 = \left( \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_y + \left( \frac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_x

だが、この問題のように rθ で表される 2次元極座標を使い、かつ r が固定されている場合、

\displaystyle \nabla^2 = \left( \frac{\partial^2 }{\partial x^2} \right)_y + \left( \frac{\partial^2 }{\partial y^2} \right)_x\\ \\ \\ = \frac{1}{r^2} \left( \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} \right)_r

となることを(11)式で示した。またポテンシャルエネルギー V は 0 なので、(11), (3.14′), (3.13)式を使うと、この系におけるシュレーディンガー方程式は

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2}\psi(\theta) = E \psi(\theta)\\ \\ \\ - \frac{\hbar^2}{2 I} \frac{\partial^2 \psi(\theta)}{\partial \theta^2} = E \psi(\theta)

となる。