物理量の表現と四則演算 – Shinshu Univ., Physical Chemistry Lab., Adsorption Group

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物理量の表し方

物理量 Q の値は、その単位 [ Q ] とその単位で得られる数値 { Q } の積で表される。

 ... (1)

例えばナトリウムの固有線の波長 λ は次のように書かれる。

 ... (2)

物理量を表す記号(λ, T など)はイタリック(斜体)で、単位(nm、K など)はローマン(通常の書体)で書くことになっています。また、数値と単位の間は半角スペースを入れます。接頭語(n(ナノ)など) と単位(m(メートル)など) はスペースを入れずに連続して書きます。

10 の n 乗の部分は接頭語と置換えてもよい。

同じく、接頭語はそのまま対応する 10ⁿ と置換えてよい。

ただし、単位自体が 2 乗や 3 乗の次元を持つ場合は、指数法則に従って計算することに注意。

四則演算の方法(1)

式(1) のように物理量は数値と単位の積で表されることに注意して、方程式に代入するときに数値とともに単位を代入し、数値は数値、単位は単位でそれぞれ計算する。

[例題] 300 K、0.1000 bar (バール) において、密度が 0.1771 g dm⁻³ となる気体がある。この気体の分子質量 M を求めよ。

[解答] まず、理想気体の状態方程式 PV = nRT を用いて、M を求めるための方程式を立てる。

ここで、各物理量に数値と単位の積をそれぞれ代入する。気体定数 R は、教科書の表紙裏にあるものから適切な単位を持つものを選ぼう。

数値は数値、単位は単位で計算する。

この方法により、物理量が単位つきで得られる。

単位換算

物理量の単位が合っておらず、換算しなくてはならない場合は次のようにする。
前の例題で、圧力 76 Torr (トル)と、単位が Torr で与えられていた場合を考えよう。

まず、数式中の圧力 P のところに、76 Torr を単位付きで代入する。

 ... (3)

この問題の場合、Torr を bar に換算する必要がある。Torr と bar には次の関係がある。

 ... (4)

式(3) において、Torr を代数記号(x や y と同じ)と見なし、式(4) を代入する。

以降の方法は前項と同じである。
この例では bar に換算したが、通常はSI単位に揃える。

物理量のもうひとつの表し方

式(2) において両辺を単位で割り、

または

のように表記する方法がある。
この場合、右辺は(無次元の)単なる数値となる。
この表記法は表に値を列挙する場合(下表参照)などに便利である。

表の例: 種々の元素の固有線の波長
元素名	λ / nm
Na	589.6
Cd	643.8
Hg	579.0

割り算を意味する / (スラッシュ) は、1 つの計算単位では 1 回しか使わないことになっています。
これは a / b / c と書くと (a / b) / c なのか a / (b / c) なのかわからなくなってしまうためです。

a / b c と書いてある場合、 (a / b) × c と a / (b × c) と 2 通りに読めますが、「スラッシュは 1 回しか使わない」というルールがあるので、 a / (b × c) を意味することになります。(スラッシュはその左側全体を分子に、右側全体を分母にとる。)

よって、上の表の見出しに密度を書く場合には、 ρ / g / cm³ とは書かずに、 ρ / g cm⁻³ と書きます。

(グリーンブック p.7 参照
http://www.nmij.jp/public/repo……df#page=27 )

四則演算の方法(2)

物理量を含む方程式を書く際に、前項のように各物理量を単位で割った形で書く方法がある。

この場合、(ρ / g dm⁻³) = 0.1771、(T / K) = 300 などというように考えて、右辺に無次元の数値を代入していく。

数値を計算すれば(M / g mol⁻¹) として無次元の数値 (44.17) が求まる。
この方が簡単だが、方程式を立てた時点で、左辺、右辺の単位が一致していることを確かめておく必要がある。

方法(1)、(2) のどちらの方法にも対応できるように、慣れておいてください。

以上は「 IUPAC 物理化学で用いられる量・単位・記号」 (グリーンブック) から抜粋したものです。

例) bar L の換算

例として、圧力 × 体積の単位が、 bar (バール) と L (リットル) で与えられているときを考えよう。

圧力 2 bar の定圧条件で、系の体積を 4 L 減少させる圧縮過程で
系になされる仕事 w を求めよ

圧力 2 bar の等圧条件で、系の体積を 4 L 減少させる圧縮過程で系になされる仕事 w は

となる。P と ΔV　に数値を単位付きで代入して

 ... (5)

(体積が「減少」するので、ΔV はマイナスとなる)

1 bar と 1 L をそれぞれSI単位系に換算する。
1 L は一辺が 0.1 m の立方体の体積で、1 dm³ に等しい。

1 L = 1 dm³ = 1 (dm)³ = 1 (10⁻¹ m)³ = 10^-3 m³

これを(5)式に代入

Pa (パスカル) を m を含む形に書き直して

(1 Pa は圧力の単位で、1 m² あたり 1 N の力が働いている)

数値は数値、単位は単位で計算

N m はエネルギーの次元を持ち、 J (ジュール)と置き換えることができる。

N (ニュートン, 力の単位) と J (ジュール, エネルギーの単位) は
頻出なので、基本単位との関係は覚えておくとよい。

(1 N は力の単位で、1 kg の物体に 1 m s⁻² (1 メートル毎秒毎秒) の加速度を与える)
(1 J はエネルギーの単位で、ある物体に1 N の力が働いている場の中で、それを 1 m 移動させるのに必要なエネルギー)

というわけで、求める答えは

となる。