3-11 位置の平均値 – ページ 2 – Shinshu Univ., Physical Chemistry Lab., Adsorption Group

解答

粒子の位置 x が 0 ≤ x ≤ a に制限された 1 次元の箱の中の粒子 ¹⁾2 次元や 3 次元の箱を考えてもよいが、x の積分だけを考えるので、結局 x の関数について考えることになる。の波動関数は n を量子数として

$\displaystyle \psi_n(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{n \pi x}{a}\right)$ …(3.27)

である。位置の平均を求めるためには、位置の演算子 $\hat{X} = x$ を用いて

$\displaystyle \langle x \rangle = \int \psi^* \, x \, \psi \, {\rm d}x$

という計算を行えばよい。ψ は実数なので、ψ* = ψ、よって

$\displaystyle \langle x \rangle = \int^a_0 x \, \psi^2 \, {\rm d}x\\ \\ = \frac{2}{a}\int^a_0 x \sin^2\left(\frac{n \pi x}{a}\right)\, {\rm d}x$

この x sin²(αx) の積分は簡単そうだが解くのが難しい ²⁾2倍角の公式を使って sin²(x)を cos 2x の形にしたのち部分積分を行う。。

ここでは公式を使おう。(教科書 p.75)

$\displaystyle \int x\sin^2 \alpha x \, {\rm d}x = \frac{x^2} {4} - \frac{x \sin{ 2\alpha x}}{4 \alpha} - \frac{\cos{2 \alpha x}}{8 \alpha^2}$

積分のイメージを捉えるために関数を図示しておくと下図のようになる。
赤が x sin²(αx)、青がその積分である。

x sin(ax) (→ 赤) とその積分 (→ 青), a = π 。赤の最初のピークが x = 0.5 よりも右に寄っていることに注意。

α = (nπ / a) として x = a として公式を適用すると、

$\displaystyle \int^a_0 x \sin^2\left(\frac{n \pi x}{a}\right)\, {\rm d}x = \frac{a^2}{4}$

となる ³⁾教科書の公式は不定積分なので注意。
$\displaystyle \int_0^a x\sin^2 \alpha x \, {\rm d}x = \left[ \frac{x^2} {4} - \frac{x \sin{ 2\alpha x}}{4 \alpha} - \frac{\cos{2 \alpha x}}{8 \alpha^2}\right]_0^a\\= \left[ \frac{x^2} {4} - \frac{x \sin{ \frac{2 n \pi x}{a}}}{4 \frac{n \pi}{a} } - \frac{\cos{\frac{2 n \pi x}{a} }}{8 ( \frac{n \pi}{a} )^2}\right]_0^a \\= \left(\frac{a^2}{4}-0-\frac{a^2}{8 n^2 \pi^2} \right)-\left(0-0- \frac{a^2}{8 n^2 \pi^2} \right)\\= \frac{a^2}{4}$ ので、全ての n について

$\displaystyle \langle x \rangle = \frac{2}{a}\int^a_0 x \sin^2\left(\frac{n \pi x}{a}\right)\, {\rm d}x\\ \\ = \frac{2}{a}\frac{a^2}{4} = \frac{a}{2}$

となる。箱の中の粒子のすべての状態は ψ_n の重ね合わせで書かれるので、
箱の中の粒子のすべての状態で、位置の平均値は a/2 である。

粒子は x = 0 と x = a にある壁以外は何も感じないので、対称性から $\langle x \rangle$ は a/2 となるのが妥当であると考えられる。(教科書 p.94)

脚注[+]

↑1	2 次元や 3 次元の箱を考えてもよいが、x の積分だけを考えるので、結局 x の関数について考えることになる。
↑2	2倍角の公式を使って sin²(x)を cos 2x の形にしたのち部分積分を行う。
↑3	教科書の公式は不定積分なので注意。 $\displaystyle \int_0^a x\sin^2 \alpha x \, {\rm d}x = \left[ \frac{x^2} {4} - \frac{x \sin{ 2\alpha x}}{4 \alpha} - \frac{\cos{2 \alpha x}}{8 \alpha^2}\right]_0^a\\= \left[ \frac{x^2} {4} - \frac{x \sin{ \frac{2 n \pi x}{a}}}{4 \frac{n \pi}{a} } - \frac{\cos{\frac{2 n \pi x}{a} }}{8 ( \frac{n \pi}{a} )^2}\right]_0^a \\= \left(\frac{a^2}{4}-0-\frac{a^2}{8 n^2 \pi^2} \right)-\left(0-0- \frac{a^2}{8 n^2 \pi^2} \right)\\= \frac{a^2}{4}$

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