3-28 円運動のシュレーディンガー方程式(*)

解答

解であることを示す

左辺に直接代入すると

\displaystyle -\frac{\hbar^2}{2I}\frac{{\rm d^2}}{{\rm d}\theta^2}\psi(\theta) = -\frac{\hbar^2}{2I}\frac{{\rm d^2}}{{\rm d}\theta^2}A \, {\rm e}^{in\theta}\\ \\ \\ = -\frac{\hbar^2}{2I}\frac{{\rm d}}{{\rm d}\theta}A \, in \, {\rm e}^{in\theta}\\ \\ \\ = -\frac{\hbar^2}{2I}A \, i^2 \, n^2 \, {\rm e}^{in\theta}\\ \\ \\ = \frac{n^2\hbar^2}{2I} A \, {\rm e}^{in\theta}\\ \\ \\ = \frac{n^2\hbar^2}{2I} \psi(\theta)

ここで n=\pm(2IE)^{1/2}/\hbar を代入すると

\displaystyle = \frac{2 I E}{\hbar^2}\frac{\hbar^2}{2I} \psi(\theta)\\ \\ \\ = E \psi(\theta)

となり、左辺 = 右辺 となるので、(2)式は(1)式の解である。

E を示す

(2)式

\displaystyle \psi(\theta) = A {\rm e}^{in\theta} …(2)

が境界条件 ψ(θ) = ψ(θ + 2π) を満たすのは、 n が整数の時である。

n=\pm(2IE)^{1/2}/\hbar を E について解くと

\displaystyle E = \frac{n^2 \hbar^2}{2I} \ \ \ (n = 0, \pm 1, \pm 2, ...) …(3)

が得られる。

Aを求める

θ の取りうる範囲 0 ≤ θ ≤ 2π の存在確率が 1 であるから

\displaystyle \int^{2\pi}_0 \psi^* \psi \, {\rm d}\theta = 1

全ての n において

\displaystyle \int^{2\pi}_0 \psi^* \psi \, {\rm d}\theta = \int^{2\pi}_0 (A {\rm e}^{-in\theta})(A {\rm e}^{in\theta}) \, {\rm d}\theta\\ \\ \\ = A^2 \int^{2\pi}_0 1 \, {\rm d}\theta\\ \\ \\ = A^2 \Bigl[\theta \Bigr]^{2\pi}_{0}\\ \\ \\ = 2 \pi A^2

これが 1 なので 1)A の符号が − のものも解なのだが、位相がずれるだけで実質同じ関数となるので、A は通常 + のものだけをとる。 、

\displaystyle A = \sqrt{\frac{1}{2\pi}}

ベンゼンとの関連

教科書 p.89 で一次元の箱の中の粒子に似た状態として、ブタジエン中の π 電子が挙げられている。同様に、今回扱った円運動に似た系として、ベンゼンの π 電子を 考えることができる。

ベンゼンの 6 個の π 電子 は (3)式のエネルギー準位のうち、最もエネルギーの低い n = 0 の準位に 2 個、次にエネルギーの低い n = ±1 の準位に 各 2 個、収容されるだろう。

電子系の第一励起状態は n = 2 または −2 の準位へ 1 電子が励起された状態であり、n = ±1  から n = ±2 の状態への遷移を引き起こすエネルギーは

\displaystyle \Delta E = \frac{\hbar^2}{2I}(2^2-1^2)

となる。慣性モーメント I = mr2 の質量として 電子質量、 r として ベンゼンの C-C 結合距離を使うと、

ΔE = 9.38 × 10−19 J

λ = (hc/ΔE) = 212 nm

が得られる。

シュレーディンガー方程式自体の導出

円周上を運動する粒子のシュレーディンガー方程式の導出については問題 5-30 を参照してください。

脚注

↑1 A の符号が − のものも解なのだが、位相がずれるだけで実質同じ関数となるので、A は通常 + のものだけをとる。
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