6-42 d軌道の名称 – ページ 2 – Shinshu Univ., Physical Chemistry Lab., Adsorption Group

解答

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直交座標と極座標の間の関係式は

$x = r \sin \theta \cos \phi \\ \\ y = r \sin \theta \sin \phi \\ \\ z = r \cos \theta \\$

これを用いて xz を r, θ 𝜙 で表すと

$xz = r^2 \sin \theta \cos \theta \cos \phi$

となり、sin θ cos θ cos 𝜙 は xz に比例していることがわかる。

同様に

$\displaystyle yz = r^2 \sin \theta \cos \theta \sin \phi\\ \\ \\ x^2-y^2 = (r \sin \theta \cos \phi)^2 - (r \sin \theta \sin \phi)^2\\ \\ = r^2 \sin^2\theta (\cos^2\phi-\sin^2\phi)\\ \\ = r^2 \sin^2 \theta \cos 2\phi\\ \\ \\ xy = (r \sin \theta \cos \phi)(r \sin \theta \sin \phi)\\ \\ = r^2 \sin^2 \theta (\sin\phi\cos\phi)\\ \\ =\frac{r^2}{2}\sin^2 \theta \sin 2\phi$

となり、それぞれ問題文の条件を満たす。

注

d_z² 軌道は、z² に比例していません。上と同様に計算すると、

$\displaystyle \left(\frac{z^2}{r^2}-\frac{1}{3}\right)$

に比例していることがわかります。

節面との関係

上で見たように、d_xz (の振幅)は xz に比例しているので、xz が 0 のとき振幅は 0 となる。振幅が 0 となる位置を「節」(ふし) と呼ぶ。

xz = 0 となるのは x = 0 または z = 0 のときである。

教科書 p.235 に示されている軌道の + と − の間には 0 になる位置があり、「節面」を形成している。d_xz の場合、x = 0 の面 (下記赤の平面)、 z = 0 の面 (下記緑の平面)が節面となっている。

dxz の角度部分の 3 次元プロット — *d_xz* の角度部分の 3 次元プロット

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