27-3 温度と分子の速さ

解答

分子の運動エネルギーの平均値 \langle \varepsilon_{\rm trans} \rangle は温度 T と次の関係にある。

  \langle \varepsilon_{\rm trans} \rangle = \displaystyle \frac{3}{2} \, k_{\rm B} T

また \langle \varepsilon_{\rm trans} \rangle

  \langle \varepsilon_{\rm trans} \rangle = \displaystyle \frac{1}{2} \, m \langle v^2 \rangle  

である。従って両式から

  \langle v^2 \rangle = \displaystyle \frac{3 k_{\rm B}}{m} T  

が得られる。根平均二乗速さ (演算順序に注意: 速さの 二乗の 平均の ルート) \langle v^2 \rangle^{\frac{1}{2}}

  \langle v^2 \rangle^{\frac{1}{2}} = \displaystyle \left(\frac{3 k_{\rm B}}{m} T \right)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{3 k_{\rm B}}{m}} \cdot T^{\frac{1}{2}}  

T に対し1/2 乗の依存性を持っていることがわかる。

よって T が 2 倍になれば 根平均二乗速さは \sqrt{2} 倍になる。

グラフが27-2にあります。

 

平均速さと根平均二乗速さ

以下余談。

上で示したように、根平均二乗速さ \langle v^2 \rangle^{\frac{1}{2}}  (vrms とも書かれる)は

  \langle v^2 \rangle^{\frac{1}{2}} = \displaystyle \left(\frac{3 k_{\rm B}}{m} T \right)^{\frac{1}{2}}  

です。

これに対し、分子の平均速さ \langle v \rangle

  \langle v \rangle = \displaystyle \left(\frac{8 k_{\rm B}}{\pi m} T \right)^{\frac{1}{2}}   ...(27.42)

で、両者とも T に対し1/2 乗の依存性を持っているものの、その値は少し異なります。
(urms の方が少し大きい。マクスウェル-ボルツマン分布の場合、\langle v \rangle = 0.92 \, u_{\rm rms})

これは具体的に計算してみると分かります。
今、分子が 3 つあって、速さが 1 m/s, 2 m/s, 3 m/s だとすると

v / m s−1 v2 / m2 s−2
1 1
2 4
3 9

となり、

 \sum v = 6  \sum v^2 = 14
 \langle v \rangle = 2 \rm\ m\ s^{-1}  \langle v^2 \rangle = \frac{14}{3} = 4.67 \rm\ m^2\ s^{-2}
 \langle v^2 \rangle^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{14}{3}} = 2.16 \rm\ m\ s^{-1}

と計算されます。(\langle v \rangle ≠ vrms)

両者 (\langle v \rangle と vrms)は全ての分子の速度が同じときに限り一致します。
(上の例だと、3 つの分子の速さが 3 つとも 2 m/s のとき。)

平均値の 2 乗 \langle v \rangle^2 と 2 乗の平均値 \langle v^2 \rangle は一致しないのです。

やりがちなのは、平均の速さが \langle v \rangle だからといって、平均の運動エネルギーを \displaystyle \frac{1}{2} \, m \langle v \rangle^2 としてしまうこと。これは間違いです。

運動エネルギーは速さの 2 乗に依存するので、 2 乗してから 平均をとらないと値が異なってしまいます。