27-18 脱出速度

この問題では、地球表面のような物体からの粒子の脱出速度(escape velocity)を取り扱う。物理学で学んだように、距離 r だけ離れた 2 個の質量 m1m2ポテンシャルエネルギー

  \displaystyle V(r) = -\frac{G\,m_1 m_2}{r}  

で与えられる(クーロンの法則との類似性に注意)。ただし G = 6.67 × 10−11 J m kg−2 を万有引力定数という。質量 m の粒子が地表に垂直に速度 u を持つとする。地表から脱出するために粒子が持たなければならない最小速度(脱出速度)が、

  \displaystyle u = \left(\frac{2\,G\,M_{\rm earth}}{R_{\rm earth}} \right)^{1/2}  

であることを示せ。地球の質量を Mearth = 5.98 × 1024 kg、平均半径を Rearth = 6.36 × 106 m として、水素分子と窒素分子の脱出速度を計算せよ。それぞれの分子の平均の速さが脱出速度を超えるにはどれだけの温度でなければならないか。
(教科書ミスプリ G の単位は J m kg−1 ではなく J m kg−2)