19-45 (問題のみ) 熱容量が変化する場合の定圧加熱

2.00 mol の O2(g)の温度を 1.00bar で 298 K から 1273 K まで上昇させるのに必要な熱エネルギーはいくらか。このとき、

\bar{C}_{\scriptsize P} [{\rm O_2(g)}] /R = 3.094 + ({\rm 1.561 \times 10^{-3}~K^{-1}})T-({\rm 4.65 \times 10^{-7}~K^{-2}})T^2

であるとせよ。

ヒント

熱容量が温度とともに変化する場合の熱の計算です。
数式をグラフ化すると下記のようになります。

酸素の熱容量

定圧条件での熱 qP

 \displaystyle q_P = \int C_P \,{\rm d}T

なので、上記の赤い面積部分を計算すればよいことになります。

注意とコメント

両辺 ガス定数 R で割ってあるので、R をかけて使うことになります。

R の単位は J K−1 mol−1 で、モル熱容量の単位と同じなので、左辺の単位は無次元になっています。右辺の式中の単位 (K−1 など) は T に 単位付きで温度を代入すると相殺され、消えます。(温度は ケルビン単位の温度を代入しろよ、と暗に言っている。)

酸素は二原子分子なので、並進運動と回転運動を考えると \bar{C}_V = (5/2)R,  \bar{C}_P = \bar{C}_V + Rより、\bar{C}_P = (7/2)R = 3.5 R となるはずです。
グラフを見ると、室温付近では予想の通り\bar{C}_P \simeq 3.5 R 程度となっていますが、温度が上がるにつれ、4.5 R 程度まで上昇しています。
この上昇分は、酸素分子内の振動運動の寄与と考えられます。