5-20 調和振動子の位置のゆらぎ – Shinshu Univ., Physical Chemistry Lab., Adsorption Group

調和振動子の場合に、

$\displaystyle \langle x^2 \rangle = \int^\infty_{-\infty}\psi_2(x) x^2 \psi_2(x) \, {\rm d}x = \frac{5}{2}\frac{\hbar}{(\mu k)^{1/2}}$

であることを示せ。

$\langle x^2 \rangle ^{1/2}$ は振動子の変位の2乗の平均値の平方根(根平均二乗変位)であることに注意せよ。

注

p.183, 表5-3 より

$\displaystyle \psi_2(x) = \left(\frac{\alpha}{4\pi}\right)^{1/4} (2\alpha x^2-1) \, {\rm e}^{-\alpha x^2/2}$

$\alpha = (k \mu)^{1/2}/\hbar$

また、積分公式 (教科書裏表紙)

$\displaystyle \int^\infty_0 x^{2n} \, {\rm e}^{-ax^2} \, {\rm d}x = \frac{1\cdot3\cdot 5 \cdot\cdot\cdot (2n-1)}{2^{n+1} a^n}\left(\frac{\pi}{a} \right)^{1/2}$

を使う。

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