2次元、3次元のハミルトン演算子

シュレーディンガー方程式の表記法のひとつ

\displaystyle \hat{H} \psi(x)=E \psi(x)

において、ハミルトン演算子  \hat{H} は 1 次元の場合

\displaystyle \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\rm d^2}{{\rm d}x^2} + V(x)

と書かれます。

2 次元の場合は

\displaystyle \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} \right) + V(x, y)

3 次元の場合は

\displaystyle \hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}\right) + V(x, y, z)

となります。(ポテンシャルエネルギーも 2 次元、3 次元化する)

なお、波動関数自体も y, z を変数に取るので、
2 次元のシュレーディンガー方程式は

\displaystyle \hat{H} \psi(x, y)=E \psi(x, y)

3 次元のシュレーディンガー方程式は

\displaystyle \hat{H} \psi(x, y, z)=E \psi(x, y, z)

となりますね。


以下余談。

なお、3 次元の ハミルトニアン演算子に登場する

\displaystyle \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}

の部分(x, y, z の各方向について2回微分したものをあとから足す)は、ラプラス演算子とよばれます。

\displaystyle \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2}

このラプラス演算子、直交座標系 (x, y, z)では上記のように比較的単純なのですが、
水素原子で出てくる極座標系 (r, \theta, \phi) だと、

 \displaystyle \nabla^2 = \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r} \left( r^2\frac{\partial}{\partial r} \right) + \frac{1}{r^2 \sin{\theta}}\frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin{\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2{\theta}}\frac{\partial^2}{\partial \phi^2}

とかなり複雑な演算子になります。

水素原子における電子のポテンシャルエネルギーは

\displaystyle V(r) =-\frac{e^2}{4 \pi \varepsilon_0 r}

なので(極座標系を使うと上記のように簡単に書ける)

水素原子中の電子のシュレーディンガー方程式は、上記の \nabla^2, V(r) を使い

\displaystyle  -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi(r, \theta, \phi) + V(r)\psi(r, \theta, \phi) = E \psi(r, \theta, \phi)

と書けます。この方程式はきちんと「解ける」ことが分かっており、解として水素原子中の電子の波動関数 \psi(r, \theta, \phi) が得られます。波動関数 \psi には 3 つの量子数 (n, l, m)が含まれており、その関数形から、電子雲の形 (s 軌道, p 軌道など) や 周期表に関係する電子構造のからくりがわかります。

授業では「水素原子のシュレーディンガー方程式を解く」ことまではしませんが、得られる結果 (波動関数  \psi(r, \theta, \phi)) からどんなことが分かるかについては扱います。