27-26 最確エネルギー

ε を含む関数部分が 2 つあるので、微分公式のひとつ、

  (fg)^\prime = f^\prime g + f g^\prime

を使う。

   \displaystyle \frac{{\rm d}G(\varepsilon)}{{\rm d} \varepsilon} = \frac{2 \pi}{(\pi k_{\rm B} T)^{3/2}}\ \left\{ \frac{1}{2 \sqrt{\varepsilon}} \exp \left( -\frac{\varepsilon}{k_{\rm B} T} \right) - \frac{\sqrt{\varepsilon}}{k_{\rm B} T} \exp \left( -\frac{\varepsilon}{k_{\rm B} T} \right) \right\}

頂点はこれが 0 となるところなので = 0 として整理すると

  \displaystyle \left( \frac{1}{2 \sqrt{\varepsilon}} - \frac{\sqrt{\varepsilon}}{k_{\rm B} T} \right) \cdot \exp \left( -\frac{\varepsilon}{k_{\rm B} T} \right) = 0

exp 項が 0 となるのは ε が +∞ のときなので、求める εmp は 最初のカッコの中が 0 となるときの ε である。

  \displaystyle \frac{1}{2 \sqrt{\varepsilon}} - \frac{\sqrt{\varepsilon}}{k_{\rm B} T} = 0

これを解いて

  \displaystyle \varepsilon_{\rm mp} = \frac{1}{2} k_{\rm B} T

が答えとなる。

前に出てきた ump (最確速さ)

  u_{\rm mp} = \displaystyle \left(\frac{2 k_{\rm B} T}{m} \right)^{1/2}   ... (27.43)

の分子が持つ運動エネルギー(kBT)と一致していないことに注意してほしい。
これは u と ε では分布曲線の形状が異なり、頂点の位置も変わるためである。

(お疲れ様でした。)

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