27-γ 導出

解答

分布関数 f(ux) を使うとux2 の平均値を

\displaystyle \langle u_x^2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} u_x^2 f(u_x) {\rm d}u_x ...(27.30)

と書けるので

\displaystyle \langle u_x^2 \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} u_x^2 f(u_x) {\rm d}u_x = \frac{k_{\rm B}\,T}{m}

となる。 f(ux)を代入して

\displaystyle 2\left(\frac{\gamma}{\pi}\right)^{1/2} \int_{0}^{\infty} u_x^2 \exp(-\gamma u_x^2) {\rm d}u_x = \frac{k_{\rm B}\,T}{m}

積分公式を使い

\displaystyle 2\left(\frac{\gamma}{\pi}\right)^{1/2} \cdot \frac{1}{4\gamma}\left(\frac{\pi}{\gamma}\right)^{1/2} = \frac{k_{\rm B}\,T}{m}

これを解いて

\displaystyle \gamma = \frac{m}{2\,k_{\rm B}\,T}

または

  \displaystyle \gamma = \frac{M}{2\,R\,T}

M は分子量(kg mol−1)、m は分子 1 個の質量(kg; m = M / NA)

計算過程は教科書 p. 1152~1153 にもあります。

uxの分布 温度が高くなるほど速い分子の割合が増える。 面積はどの温度も 1
窒素分子 (M = 28 g mol−1)の ux の分布
温度が高くなるほど速い分子の割合が増える。
グラフの面積はどの温度も 1。

 

 

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