17-10 二次元の分配関数

解答

  Q(N, A, T) = \displaystyle \frac{1}{N!}\left(\frac{2 \pi m k_{\rm B} T}{h^2} \right)^N A^N

教科書 p. 736 に示されているように、分配関数 Q の対数の β ( = 1/ kB T )についての微分(の符号を逆にしたもの)が エネルギーの平均値 \langle E \rangle となる。

  \langle E \rangle = \displaystyle - \left(\frac{\partial \ln Q}{\partial \beta}\right)_{N, V}   ... (17.20)

与えられた分配関数中の kB T を β に置き換えて

  Q(N, A, T) = \displaystyle \frac{1}{N!}\left(\frac{2 \pi m}{h^2 \beta} \right)^N A^N

対数を取る

  \ln Q = \displaystyle N \ln \left(\frac{2 \pi m}{h^2 \beta} A \right) - \ln N!

β で微分するので、β を含む項と β に依存しない項の和の形にする

  \ln Q = \displaystyle -N \ln \beta + N \ln \left(\frac{2 \pi m}{h^2} A \right) - \ln N!

これを β で微分する。第2項以降は β を含んでいないので(β が変化しても一定値)、β で微分すると 0 になる。

  \displaystyle \left(\frac{\partial \ln Q}{\partial \beta}\right)_{N, V} = -N \frac{{\rm d} \ln \beta}{{\rm d} \beta} = -\frac{N}{\beta} = -N k_{\rm B}T

よって 式(17.20) より

  \langle E \rangle = \displaystyle N k_{\rm B} T

となる。N は分子数であり、 n mol の気体の場合、 N = n NA および kB NA = R だから

  \langle E \rangle = \displaystyle n R T

 

p. 738 に示されている 三次元の気体の場合には

  \langle E \rangle = \displaystyle \frac{3}{2} n R T

となるので、2/3 の大きさになっている。

これは分子の「並進の自由度」と関係している。 並進の自由度は 三次元の場合 3、二次元の場合 2 であり、一つの自由度あたり \frac{1}{2}k_{\rm B} T のエネルギーが割り当てられていると考えることができる。

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