式(27.1) の Δt の意味がやっぱりよくわからない

式(27.1) の Δt の意味がやっぱりよくわからない

  \displaystyle \frac{\Delta(m u_{1x})}{\Delta t} = \frac{2mu_{1 x}}{2 a/u_{1 x}}=\frac{mu_{1 x}^2}{a}   ... (27.1)

ここでは、分子が壁と衝突するときにどのくらいの力を壁に及ぼすか、について計算しています。

授業で説明したように、物体の運動と力には次の関係があります。

  m\vec{a}=\vec{F}   ... (1)

ここで m は物体の質量、a は加速度、F は物体に加わった力です。aF はベクトル量です。
この式はニュートンの第二法則を表しており、運動方程式とも呼ばれます。

ちなみに

  • ニュートンの第一法則 [慣性の法則] 力を加えない限り、静止している物体はそのまま静止し、運動している物体はその速度 1)速度はベクトル量。 を保つ(等速直線運動)。
  • 第二法則 [運動の法則] (上式)
    物体に力を加えると (F/m) に比例した加速度を生じる(等加速度運動)。
  • 第三法則 [作用・反作用の法則] 2つの物体が相互作用するとき、一方が受ける力と他方が受ける力は向きが反対で大きさが等しい。

力が加わり続けるときは 式(1) でよいのですが、Δt の間だけ力が加わることを考えます 2)Δ(デルタ)と d の違いについてはこちらを参照 。
最初の速度を  \vec{v_1}、 力が加わった後の速度を \vec{v_2} とします。
(慣性の法則により、力が加わっていないときは \vec{v_1}, \vec{v_2} は一定に保たれる。)

加速度は単位時間当たりの速度の変化なので、

  \vec{v_2} = \vec{v_1} + \vec{a} \Delta t  

a に 式(1) を代入

  \displaystyle \vec{v_2} = \vec{v_1} + \frac{\vec{F}}{m} \Delta t  

変形して

  m\vec{v_2} - m\vec{v_1} = \vec{F} \Delta t  

したがって、運動量 mv の変化が、 F と Δt の積 (力積(りきせき)という)に等しいことがわかります。

[運動量の変化がわかれば→加えた力と、力を加えていた時間の積がわかる] または
[加えた力と、力を加えていた時間の積がわかれば→運動量の変化がわかる] というわけです。

授業での扱いのように、x 方向だけを考えれば、ベクトルはスカラー量に置き換えられます。
(ただし、符号については考えなくてはならない。右向きの vF がプラスになる。)

  m v_2 - m v_1 = F \Delta t  

上式の F は「分子が壁から受けた力」です。「壁が分子から受けた力」 Fw は、作用・反作用の法則により符号が反対向きになります。

  m v_2 - m v_1 = -F_{\rm w} \Delta t  

さて、ようやく問題の Δt です。

運動量の変化からわかるのは力積です。
Δt は「力が加わっていた時間」であり、これに応じて F が変化します。
今知りたいのは、多数の分子がひっきりなしに容器の壁に衝突をしている状態での
「平均の」力です。

よって、 Δt は、分子が壁に衝突してから次に衝突するまでの時間(衝突間隔)とするのがよいでしょう。
1 個の分子が右の壁と衝突する間隔について考えます。
分子は右と左の壁に衝突しながら往復運動をします。壁との衝突は弾性衝突なので、(他の分子との衝突を考えなければ) x 成分の速度はずっと一定です。

x 方向の容器の大きさは a (加速度ではない。別の記号を使うべきでしたね。)としましたから、この往復分の距離 2a を、分子の x 成分の速度 ux でわることで、衝突間隔 Δt が求まります。

  \displaystyle \Delta t = \frac{2a}{u_x}  

脚注   [ + ]

1. 速度はベクトル量。
2. Δ(デルタ)と d の違いについてはこちらを参照