|ux| の 平均値

気体の x 方向の速度 ux の分布の式

  \displaystyle f(u_x) = \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} \exp \left(-\frac{m}{2 k_{\rm B} T} u_x^2 \right)  

より、ux の絶対値の平均を求めよ。

分布式に |ux| をかけて、−∞ から ∞ まで積分すればよい 1) 0から∞まで積分すればよいような気もするのですが、分布関数f(u_x)自体が、−∞ から ∞ まで積分すると 1 になるように規格化されていますので( \int_{-\infty}^\infty f(u_x)\, {\rm d}u_x = 1)、きちんと −∞ から ∞ まで積分しなくてはなりません。

  \displaystyle \langle|u_x|\rangle = \int_{-\infty}^\infty |u_x|\, f(u_x)\, {\rm d}u_x = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} |u_x|\, \exp \left(-\frac{m}{2 k_{\rm B} T} u_x^2 \right)\, {\rm d}u_x  

積分される関数は偶関数であり(下図参照)、
また、|x| は x > 0 ではただの x になるので

  \displaystyle  = 2 \int_0^\infty \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} u_x\, \exp \left(-\frac{m}{2 k_{\rm B} T} u_x^2 \right)\, {\rm d}u_x  

定数(積分変数uxを含まない部分)は積分の外に出す

  \displaystyle  = 2 \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} \int_0^\infty  u_x\, \exp \left(-\frac{m}{2 k_{\rm B} T} u_x^2 \right)\, {\rm d}u_x  

積分公式(一番下)を使う。公式を当てはめると、\displaystyle a = \frac{m}{2 k_{\rm B} T} となるので、

  \displaystyle  = 2 \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} \frac{2 k_{\rm B} T}{2 m}  

約分して

  \displaystyle  = \left( \frac{2^2 m}{2 \pi k_{\rm B} T} \frac{k_{\rm B}^2 T^2}{m^2}\right)^\frac{1}{2}  
  \displaystyle \langle|u_x|\rangle = \sqrt{\frac{2 k_{\rm B} T}{\pi m}}  

γ を使って書くと

  \displaystyle \langle|u_x|\rangle = \sqrt{\frac{1}{\pi \gamma}}  

ちなみにこの問題で使う積分公式は

  \displaystyle \int_0^\infty x \exp(-ax^2) \, {\rm d} x = \frac{1}{2a}  

だけでした。

関数の概形
関数の概形
Calculate the average of absolute value of molecular velocity along  x axis, ux.
Using the function of distribution of ux.

  \displaystyle f(u_x) = \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} \exp \left(-\frac{m}{2 k_{\rm B} T} u_x^2 \right)  

The average value of |ux| can calculate the below equation.

  \displaystyle \langle|u_x|\rangle = \int_{-\infty}^\infty |u_x|\, f(u_x)\, {\rm d}u_x = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} |u_x|\, \exp \left(-\frac{m}{2 k_{\rm B} T} u_x^2 \right)\, {\rm d}u_x  

|ux|f (ux) is an odd function.
Furthermore, |x| become x, at x > 0.
Therefore,

  \displaystyle  = 2 \int_0^\infty \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} u_x\, \exp \left(-\frac{m}{2 k_{\rm B} T} u_x^2 \right)\, {\rm d}u_x  

The constants move out from integration,

  \displaystyle  = 2 \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} \int_0^\infty  u_x\, \exp \left(-\frac{m}{2 k_{\rm B} T} u_x^2 \right)\, {\rm d}u_x  

Using the formula of Gaussian integration (at last line in this page.)
The constant a in Gaussian integration is correspond \displaystyle a = \frac{m}{2 k_{\rm B} T} , in this case.

  \displaystyle  = 2 \left( \frac{m}{2 \pi k_{\rm B} T} \right)^\frac{1}{2} \frac{2 k_{\rm B} T}{2 m}  

By reduction,

  \displaystyle  = \left( \frac{2^2 m}{2 \pi k_{\rm B} T} \frac{k_{\rm B}^2 T^2}{m^2}\right)^\frac{1}{2}  
  \displaystyle \langle|u_x|\rangle = \sqrt{\frac{2 k_{\rm B} T}{\pi m}}  

You can express using γ.

  \displaystyle \langle|u_x|\rangle = \sqrt{\frac{1}{\pi \gamma}}  

In the calculation, below Gaussian integration was used.

  \displaystyle \int_0^\infty x \exp(-ax^2) \, {\rm d} x = \frac{1}{2a}  

 

脚注   [ + ]

1. 0から∞まで積分すればよいような気もするのですが、分布関数f(u_x)自体が、−∞ から ∞ まで積分すると 1 になるように規格化されていますので( \int_{-\infty}^\infty f(u_x)\, {\rm d}u_x = 1)、きちんと −∞ から ∞ まで積分しなくてはなりません。