1-10 分布式の変数変換(*)

λν = c の関係を使って、プランクの分布側(1.2式)を λ (および dλ)で表せ。

(注)

ν で表された黒体からの電磁波の分布式

 ... (1.2)

を λ (および dλ ) で表された式に直します。

λ (ラムダ)は波長、ν (ニュー)は振動数、c は光速度。
h はプランク定数、k_Bはボルツマン定数、T は温度です。

「分布」の表し方

この数式には dν (微小な ν) が含まれています。「dなんとか」 が含まれている式の扱いは慣れていないと思われるので、少し解説します。
(高校数学の積分式で出てくる dx と、実は同じものです。参考「Δ と d の使い分けがわからない」)

左辺、とあるのは、分布式を示す時の常套手段です。
電磁波の、振動数 ν を横軸とした分布 (振動数 ν の電磁波がそれぞれどのくらいのエネルギー分含まれているか)
を表すには、数式で  と表し、
横軸を ν として、 部分をグラフにします。

(1.2)式の場合、

 ... (1)

なので、これを T = 6000 K としてグラフにすると

というように横軸を振動数とした分布を表すことができます。
特定の振動数の範囲の電磁波のエネルギーを求めるためには

のように、グラフの横軸である ν の微小量である dν をかけてグラフの面積を求めます。言い換えると、

 ... (2)

のように積分をしてやればよいということになります。

「次元」を考える

数式の持つ次元(単位)について考えておきましょう。(1)式

 ... (1)

の単位について考えます。
まず、指数関数の中身

 ... (3)

は、

h = 6.624 × 10⁻³⁴ J s
ν = 数値 s⁻¹
k_B = 1.381 × 10⁻²³ J K⁻¹
T = 数値 K

ですから、単位だけを考えると　(J s s⁻¹)/(J K⁻¹ K) = (1) で無次元となります。
(物理量を扱う場合、指数関数や対数関数の中身は基本的に無次元になる)

(1)式の残りの部分

 ... (4)

についても同様に単位を考えると

c = 2.998 × 10⁸ m s⁻¹

を使い、(J s s⁻³)/(m³ s⁻³) = J m⁻³ s となります。

J m⁻³ は「体積当たりのエネルギー」です。
(1)式の次元は J m⁻³ s であり、dν (単位 s⁻¹) をかけることで、求めたい量、
J m⁻³  (体積当たりのエネルギー)となることがわかります。