位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー)

位置エネルギー(ポテンシャルエネルギー) Ep

エネルギーは(力 × 距離)の次元を持っています。
ある物体に 力 F がかかっている場の中で、
その物体を力に逆らう方向に、距離 x だけ移動させると
その物体はエネルギー Fx を得ると考えてよいでしょう。

このように、物体に対して(重力やバネのために)力が働くとき、物体が移動するとエネルギーが発生します。このように物体の「位置」によって決まるエネルギーを「位置エネルギー」といいます。

物質の間に生じる「力」がエネルギーの原因になっていますから、力の種類(重力や静電気力など)の数だけポテンシャルエネルギーにも種類があります。それぞれの力に応じた式(距離と力の関係)について以下に説明します。

力が場所によって変化する場合も含めて考えると位置エネルギーの変化 ΔEp は

 \displaystyle \Delta E_{\rm p} = - \int F {\rm d}x

と積分によって表されます。

「重力による位置エネルギー(地表近く)」を例として実際に積分してみましょう。

重力による力 F は F = −mg と表すことができるので、ポテンシャルエネルギーΔEp は

 \displaystyle \Delta E_{\rm p} = - \int F {\rm d}h \\ \Delta E_{\rm p} = - \int (-mg) {\rm d}h\\ \Delta E_{\rm p} = mgh + C

となります。

力とエネルギーの符号について

ここで、符号について説明しておきましょう。

上の式では物質の位置を表す変数として
高さ h が使われています。

h は地表を 0 として、「上」に行く方向を正としています。
重力による力 mg は「下」向きに働きますから − がついて
F = −mg
となります。

2 つの粒子間に働く力では粒子中心間の距離 r がでてきますが、
距離が遠ざかる(r が増える) 方向が正となっていますので、
F が負(F < 0) のとき引力、F が正(F > 0) のとき斥力(せきりょく=反発力)となります。

このように、F の符号は「力の働く方向」を表しています。

力に逆らって移動するとき(力が働く向きと逆方向に移動するとき)、
その物質はエネルギーを得るので、積分式

 \displaystyle \Delta E_{\rm p} = - \int F {\rm d}x

では、式中に − が入ることになります。

不定積分なので、上のように積分定数 C が入ってきますが、
h = 0 のとき、ΔEp = 0 とおけば、C は 0 となります。

位置エネルギーは、このように標準の位置(上の例では高さ h = 0 )でのエネルギーからの相対値になっています。(問題19-1 「エネルギーの差をとるという考え方」参照)

重力による位置エネルギー(地表近く)

 F = -mg 

 E_{\rm p} = mgh

m : 物体の質量 (kg)
g : 重力加速度 (9.807 m s−2)
h : 高さ (m)

重力による力F は質量に比例します。

地表近くでは、地球が物体を引く力は位置によらず一定とみなせるので、上記のように書き表せます。(h の変化が地球の半径に比べて小さいから)

重力による位置エネルギー (宇宙スケール)

 \displaystyle F = -G\frac{M m}{r^2} 

 \displaystyle E_{\rm p} = -G\frac{M m}{r}

M : 物体1(地球)の質量 (kg)
m : 物体2の質量 (kg)
G : 重力定数 (6.674 ×10−11 m3 kg−1 s−2)
r : 2 つの物体の中心間の距離 (m)

重力による力は 距離 r の 2 乗に反比例します。

上式のM に地球の質量、r に地球の半径を代入すると \displaystyle \frac{GM}{r^2} は g (前項に出てきた重力加速度)になります。

負の質量というのは無いので、重力はどんな場合でも引力 (F < 0) であることに注意してください。また、「宇宙スケール」とは書きましたが、上式で示される引力は全ての物質の間(例えば私とあなた、窒素分子と窒素分子)に働いています。しかしこれら質量の小さいもの同士の間に働く重力は非常に小さいので、通常問題になることはありません。

Ep は \displaystyle \Delta E_{\rm p} = - \int F {\rm d}x に従い、 F を r で積分して −1 倍することで求まります。ポテンシャルエネルギーは r (の 1 乗)に反比例します。

r → ∞ のとき Ep= 0 になっています。(問題27-18参照)

バネによる位置エネルギー (弾性エネルギー)

 \displaystyle F = -kx 

 \displaystyle E_{\rm p} = \frac{1}{2}kx^2

k : バネ定数(力の定数) (N/m)
x : バネの伸び (m)

力 F がバネののびに比例します。

バネ定数(力の定数) k は 「バネを単位長さ(1 m)だけ伸ばしたときに働く力」ですから、硬いバネほど k が大きく、柔らかいバネほど k が小さくなります。

ポテンシャルエネルギーは x = 0 (つりあいの位置)が極小の 2 次関数となり、 x = 0  のとき Ep= 0 になっています。

電荷による位置エネルギー

 \displaystyle F = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q Q^\prime}{r^2}  ... (クーロンの法則)

 \displaystyle E_{\rm p} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}\frac{Q Q^\prime}{r}

Q : 粒子 1 の電荷 (C)(クーロン)
Q’ : 粒子 2 の電荷 (C)
ε0 : 真空の誘電率 (8.854 × 10−12 F m−1)
r : 2つの粒子の中心間の距離 (m)

力(クーロン力ともいう)は 距離 r の 2 乗に反比例し、ポテンシャルエネルギーは r に反比例します。
これは重力(宇宙スケール)と全く同じです。

ただし重力とは異なり、Q, Q’ が同符号のときは斥力(せきりょく)(F > 0)、異符号の時は引力(F < 0)になります。

r → ∞ のとき Ep= 0 になっています。

重力とクーロン力

上で述べたように、重力の式とクーロン力の式は似た形を持っています。

今、二つの電子が 1 nm 離れて存在していると考えましょう。
この二つの電子には
重力による「引力」 と 電荷による「斥力」(電荷が同符号だから反発)が同時に働いています。
距離が倍の 2 nm になると、重力による引力も、電荷による斥力もそれぞれ 1/4 になります。
従って、この「引力」と「斥力」の比は、距離によらず変わらないことになります。

この比がどのくらいか、計算してみましょう。

 \displaystyle \frac{F({\rm ele})}{F({\rm gra})} = \frac{\displaystyle (\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \, \frac{Q Q}{r^2})}{\displaystyle (G \, \frac{m m}{r^2})} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \, \frac{1}{G} \, \frac{q_{\rm e}^2}{m_{\rm e}^2} 

  = \frac{1}{(4 \cdot 3.14 \cdot 8.85 \times 10^{-12} \rm\ C^2\ J^{-1}\ m^{-1})}\frac{1}{(6.67 \times 10^{-11} \rm\ m^3\ kg^{-1}\ s^{-2})}\\ \times \frac{(1.60 \times 10^{-19} \rm\ C)^2}{(9.11 \times 10^{-31} \rm\ kg)^2} 

 = 4.16 \times 10^{42}

となり、静電気力が圧倒的に大きいことがわかります。従って、電子と電子、あるいは原子核と電子の間の相互作用を考えるときは、クーロン力だけを考え、重力は無視してかまいません。

ただし、電荷には正負があります。上記のような強い静電気力のために、ある程度大きいスケール(特に星の運行などのスケール)では、正負同じ量の電荷が集まって実効の電荷が 0 となり、重力が重要となってきます。重力はクーロン力に比べて弱いのですが、クーロン力のように相殺されることがないので、大きなスケールでは重要となってくるのです。

もう少し小さいスケールでも、電荷はたいてい相殺しています。
例えば原子では、正の電荷をもつ原子核の周囲に同じ電荷分だけの電子が集まります。
原子核と電子の間には強いクーロン力が働いていますが、原子全体でみると電荷は 0 となっており、原子と原子の間には強いクーロン力は働きません。

ただし、原子核と電子は完全に同じ位置にあるわけではないので相殺は完全ではなく、電気的に中性な分子間でも、ある程度の距離(分子直径数個分くらい)までは弱い引力が働きます。(分子A、分子B の二つを考えた時、
Aの原子核-Bの原子核間、およびAの電子-Bの電子間の反発力 に比べ、
Aの原子核-Bの電子間 、およびAの電子-Bの原子核間の引力 の方が少し強い。)

原子間に生じる強い化学結合(共有結合)も、その源は原子核と電子の間に働くクーロン力ですが、そのメカニズムを知るためには量子力学を学ぶ必要があります。

電位による位置エネルギー

 \Delta E_{\rm p} = Q V

Q : 粒子 1 の電荷 (C)(クーロン)
V : 電位差(=電圧) (V)(ボルト)


電位とは、その場所に電荷が存在したときの位置エネルギーを示したものです。電荷 1 C を移動させるのに 1 J 必要であるとき、その電位差は 1 V になっています。

ちなみに「電圧」とは、2 箇所の電位の差、電位差のことです。