立方体以外の単位格子の繰り返しの考え方

問題 9 のヒント

問題 9 (氷) 難易度A

1. 下図は氷(Ice I_h)の単位格子である。氷の構造を図示し、その特徴について述べよ。酸素原子のみを示せばよい。(水素原子は示さなくてよい)

 

このような立方体以外の形の単位格子では、ベクトルの考え方を使います。

単位格子は 3 つのベクトル、 a, b, c で表すことができます。(以下、太字はベクトルを表しています)
ベクトルを次のように成分表示で書くことにすると

• a = (a_x, a_y, a_z)
• b = (b_x, b_y, b_z)
• c = (c_x, c_y, c_z)

下図の氷(Ice I_h)の場合、3 つのベクトルはx, y, z の成分表示で例えば次のように書けます。(他の書き方もあります)

• a = (4.48*cos60°, 4.48*sin60°, 0)
• b = (-4.48, 0, 0)
• c = (0, 0, 7.31)

そうすると、単位格子に含まれる 4 つの酸素原子の位置は、3 つのベクトルa, b, c を使って次のように書けます。

• O₁ = (1/3)*a+(2/3)*b+(1/16)*c
• O₂ = (1/3)*a+(2/3)*b+(7/16)*c
• O₃ = (2/3)*a+(1/3)*b+(9/16)*c
• O₄ = (2/3)*a+(1/3)*b+(15/16)*c

実際の xyz ファイルには各酸素原子の xyz 座標を書く必要があります。
O₁ の x 座標は、上の式の a, b, c の x 成分をとりだして計算すればよいので、以下のように計算できます。

• O_1x = (1/3)*a_x + (2/3)*b_x + (1/16)*c_x
• すなわち
• O_1x = (1/3)*(4.48*cos60°) + (2/3)*(-4.48) + (1/16)*0

同じように、y 座標と z 座標も求めることができます。

• O_1y = (1/3)*a_y + (2/3)*b_y + (1/16)*c_y
• O_1z = (1/3)*a_z + (2/3)*b_z + (1/16)*c_z

うまくセルを並べて、$マークを駆使すれば、計算は一気に行えます。

赤い部分の答え(やり方は他にもあります。)

上の表で 2.22045E-16 とあるのはコンピュータの世界で指数形式と呼ばれるもので、
2.22045 × 10^-16 を表しています。つまりこの場合、ほぼ 0です。
VESTAはこの指数形式も読み込むことができるので、そのまま xyz ファイルに貼り付けてかまいません。
表示の違いが気になる場合は、セルを選択して、エクセル上のメニューから[書式]-[セル]で表示される[セルの書式設定]で表示形式を[標準]から[数値]に変更し、[小数点以下の桁数]を 3 桁程度に設定してやるとよいでしょう。設定の桁数になるように四捨五入され、表示されます。
この設定は、将来書く実験のレポートで、数値を有効数字の桁に揃えるときに使います。

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