両辺RYで割るとき、右辺のβは割らなくてよいのか

式(6.5)から

 \displaystyle \left[ \hat{R} + \frac{2 m_{\rm e} r^2}{\hbar^2} \left( \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} + E \right) \right] \psi + \left[ \hat{\Theta} + \hat{\Phi}\right] \psi = 0   \hspace{1cm}...(6.5)
\psi(r, \theta, \phi) = R(r)\cdot Y(\theta, \phi)として、

 \displaystyle Y \left[ \hat{R} + \frac{2 m_{\rm e} r^2}{\hbar^2} \left( \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} + E \right) \right] R + R \left[ \hat{\Theta} + \hat{\Phi}\right] Y = 0

( r を含んでいない Y は \hat{R} の前に、
\theta, \phi  を含んでいない R は \hat{\Theta}, \hat{\Phi} の前に出る)

この時点で、両辺を R \cdot Y で割ります。

 \displaystyle \frac{1}{R} \left[ \hat{R} + \frac{2 m_{\rm e} r^2}{\hbar^2} \left( \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} + E \right) \right] R + \frac{1}{Y} \left[ \hat{\Theta} + \hat{\Phi}\right] Y = 0

そうすると第 1 項は r のみを、第 2 項は\theta, \phi のみを含んだ状態になるので、これらが足して 0 になるよう、第1項 = \beta とおいて、

 \displaystyle \frac{1}{R} \left[ \hat{R} + \frac{2 m_{\rm e} r^2}{\hbar^2} \left( \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 r} + E \right) \right] R = \beta \hspace{1cm}...(6.8)\\ \\ \frac{1}{Y} \left[ \hat{\Theta} + \hat{\Phi}\right] Y = -\beta \hspace{1cm}...(6.9)

と 2 つの方程式が得られます。
授業では説明が前後してしまいましたが、 R \cdot Y で割ってから 式を \beta を使って2つに分けているので、 右辺の \beta は R \cdot Y では割らない、ということになります。

なお、上の式で出てくるハット付きの演算子は 私(飯山)が板書省略のために定義したもので、中身は下記の通りです。

 \displaystyle \hat{R} = \frac{\partial}{\partial r} \left( r^2 \frac{\partial}{\partial r} \right)\\ \\ \hat{\Theta} = \frac{1}{\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin \theta \frac{\partial}{\partial \theta} \right)\\ \\ \hat{\Phi} = \frac{1}{\sin^2 \theta} \frac{\partial^2}{\partial\phi^2}