19-8 非理想気体の等温膨張

解答

ファン・デル・ワールス式

\displaystyle \left( P+\frac{a}{\bar{V}^2}\right) \left( \bar{V}-b \right) = RT　...(16.5)

を P について解き

\displaystyle P = \frac{RT}{\bar{V}-b}-\frac{a}{\bar{V}^2}

を \bar{V} について積分する。

\displaystyle w = - \int P\,{\rm d}\bar{V} = - \int_{\bar{V}_1}^{\bar{V}_2} \frac{RT}{\bar{V}-b}-\frac{a}{\bar{V}^2}\,{\rm d}\bar{V}\\ \\ =-\left[ RT \ln{(\bar{V}-b)} + \frac{a}{\bar{V}} \right]_{\bar{V}_1}^{\bar{V}_2} \\ \\ = - RT \ln{\frac{\bar{V}_2-b}{\bar{V}_1-b}}-a\left( \frac{1}{\bar{V}_2} - \frac{1}{\bar{V}_1}\right)

となる。メタンのファン・デル・ワールス定数 (p.676)

\displaystyle a = {\rm 2.3026~dm^6~bar~mol^{-2}}\\ \\ b = {\rm 0.043067~dm^3~mol^{-1}}

を使うと

\displaystyle w = \rm -4103~J~mol^{-1}+1.84~dm^3~bar~mol^{-1} \\ \\ = -4103~J~mol^{-1} + 184~J~mol^{-1}\\ \\ = -3.92~kJ~mol^{-1}

となる。

なお、理想気体の式を用いた場合は

\displaystyle w = - RT \ln{\frac{\bar{V}_2}{\bar{V}_1}} = \rm -4.01~kJ~mol^{-1}

となる。

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