1-31 水素以外のボーアの式

解答

導出過程をさかのぼります。(教科書p.22~)

核の電荷が +Ze、電子の電荷 −e なので、クーロン引力の大きさは

\displaystyle f=\frac{Ze^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2}

(1.14)式は

\displaystyle \frac{Ze^2}{4 \pi \varepsilon_0 r^2} = \frac{m_{\rm e}v^2}{r} ... (1.14)'

ボーアの量子条件を入れて r を算出すると

\displaystyle r = \frac{4 \pi \varepsilon_0 \hbar^2 n^2}{Z m_{\rm e}e^2}  ... (1.17)'

となります。(クーロン力が強いので、半径は小さくなる (1/Z 倍))

クーロン力によるポテンシャルエネルギー V(r)は

\displaystyle V(r) = -\frac{Ze^2}{4 \pi \varepsilon_0 r} ... (1.19)'

Z が入り、(1.19)’ 式、(1.14)’ 式、(1.17)’ 式から導かれる許容されるエネルギーの式 (1.22)式 は

\displaystyle E_n = -\frac{Z^2 m_{\rm e} e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\frac{1}{n^2} ... (1.22)'

となります。

したがって (1.23)式は

\displaystyle \Delta E = \frac{Z^2 m_{\rm e}e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^2}\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) = h\nu ... (1.23)'

(1.24)式は

\displaystyle \tilde{\nu} = \frac{Z^2 m_{\rm e}e^4}{8 \varepsilon_0^2 c h^3}\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) ... (1.24)'

となります。リュードベリ定数 Rを使うと

\displaystyle \tilde{\nu} = Z^2 R_\infty \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) 

と書けます。

(1.24), (1.24)’ 式で、分母の h3h2 になっていました。お詫びして修正します。(2019.1.29 17:25)